Marches aléatoires avec branchement et capacité.
Considérons un arbre critique de Galton-Watson. C’est-à-dire que chaque individu a en moyenne un enfant, et presque sûrement chaque arbre est fini. Nous associons à chaque arête indépendamment un vecteur unitaire de Z^d (qui sera l’incrément de nos marches). Ainsi le sommet u de l’arbre est associé à la somme des incréments le long de l’unique géodésique qui relie u à la racine de l’arbre. L’ensemble des positions associées aux sommets de l’arbre est la Marche Aléatoire Branchante d’acronyme anglais BRW que nous noterons T_z lorsque la racine est associée au site z ∈ Z^d.
Avant de parler de la capacité branchante, rappelons la définition de la capacité newtonienne. La capacité d’un sous ensemble fini K de Z^d est proportionnelle à la probabilité d’atteindre K par une marche aléatoire simple partant d’un site éloigné x, renormalisée par |x|^(2−d). C’est donc un objet fondamental en probabilité. La capacité branchante, ou branching capacity notée Bcap(·), est un concept relativement nouveau défini et étudié dans une série de travaux par Zhu. C’est une extension de la théorie de la capacité discrète. La capacité branchante se définit naturellement lorsque le processus est transient, et Q.Zhu a considéré l’arbre critique en d ≥ 5. La capacité branchante de K est la limite (qui existe) suivante :
On peut s’intéresser à la capacité d’un ensemble aléatoire. La capacité du support d’une marche aléatoire, la capacité du support d’une marche branchante, ainsi que la capacité branchante du support d’une marche aléatoire ont été étudiées. Dans ce projet de thèse, on s’intéresse à étudier la capacité branchante du support d’une marche branchante. Ce problème est lié à l’intersection de deux marches branchantes.
Branching random walk and capacity
Let’s consider a critical Galton-Watson tree. That is, each individual has on average one child, and almost surely each tree is finite. We independently associate a unit vector from Z^d to each edge (which will serve as the increment of our walk). Thus, a vertex u of the tree is associated with the sum of the increments along the unique geodesic connecting u to the root of the tree. The set of positions associated with the vertices of the tree forms the Branching Random Walk (BRW), which we denote by T_z when the root is associated with the site z in Z^d.
Before discussing branching capacity, let’s recall the definition of Newtonian capacity. The capacity of a finite subset K of Z^d is proportional to the probability of reaching K by a simple random walk starting from a distant site x, renormalized by |x|^{2-d}. Therefore, it is a fundamental concept in probability theory.
Branching capacity, denoted by Bcap(.), is a relatively new concept, defined and studied in a series of works by Zhu. It is an extension of the theory of discrete capacity. Branching capacity is naturally defined when the process is transient, and Q. Zhu considered the critical tree in dimensions d ≥ 5. The branching capacity of K is the following limit (which exists):
One can also be interested in the capacity of a random set. The capacity of the support of a random walk, the capacity of the support of a branching random walk, as well as the branching capacity of the support of a random walk have been studied. In this thesis project, we aim to study the branching capacity of the support of a branching random walk. This problem is related to the intersection of two branching random walks.