Comportement à l’explosion et propriétés de type Liouville pour des équations paraboliques non linéaires.
Cette thèse contient deux volets :
- Etude du profil d’explosion en espace et en temps-espace pour différents types de problèmes de réaction-diffusion : On considère les solutions à symétrie radiale pour différents types de problèmes de réaction-diffusion non linéaires (équation de la chaleur non-linéaire avec une non-linéarité générale f et système de Keller-Segel parabolique-elliptique). L’objectif est de donner des estimations supérieures optimales dans le cas où f est une perturbation de l’exponentielle ou de la puissance par une méthode basée sur le principe de maximum, ensuite des estimations inférieures optimales dans le cas où f est exponentiel ou perturbative par une approche simplifiée ; enfin étudier l’estimation inférieure temps-espace pour le cas de Keller-Segel.
- Propriétés de classification de type Liouville pour l’équation de Hamilton-Jacobi diffusive dans un demi-espace : On considère l’équation de Hamilton-Jacobi (EHJ) dans un demi-espace. Notre objectif est de vérifier si toute solution de (EHJ) définie en temps négatif est nécessairement unidimensionnelle, puis si elle est nécessairement stationnaire en dimension un.
Explosion behavior and Liouville-type properties for nonlinear parabolic equations.
This thesis contains two parts :
- Study of the explosion profile in space and time-space for different types of reaction-diffusion problems : Radially symmetric solutions are considered for different types of nonlinear reaction-diffusion problems (nonlinear heat equation with general nonlinearity f and parabolic-elliptic Keller-Segel system). The aim is to give optimal upper estimates in the case where f is exponential or power perturbative by a method based on the maximum principle, then optimal lower estimates in the case where f is exponential or perturbative by a simplified approach ; finally study the time-space lower estimate for the Keller-Segel case.
- Liouville-type classification properties for the half-space diffusive Hamilton-Jacobi equation : Consider the Hamilton-Jacobi equation (EHJ) in half-space. Our aim is to check whether any solution of (EHJ) defined in negative time is necessarily one-dimensional, and then whether it is necessarily stationary in dimension one