Soutenances de thèse

Voici des problèmes apparemment sans rapport : le calcul des groupes d’homotopie rationnels des sphères en théorie de l’homotopie rationnelle, la pureté en géométrie algébrique, la dualité de Koszul pour la catégorie d’un groupe réductif en théorie des représentations, la décomposition du complexe de de Rham de l’espace de Drinfeld dans le programme de Langlands p-adique, et la quantification par déformation des variétés de Poisson en physique mathématique. Et pourtant, tous ces problèmes se ramènent à une même question : celle de la formalité. Une structure algébrique différentielle graduée A (par exemple une algèbre associative, une algèbre de Lie, une algèbre pré-Calabi-Yau, etc.) est dite formelle si elle est reliée à son homologie H(A) par un zigzag de quasi-isomorphismes préservant le type de structure algébrique. Cette thèse développe des classes d’obstruction permettant de démontrer des résultats de formalité. D’une part, elle unifie les résultats mentionnés précédemment au sein d’une même théorie. D’autre part, elle fournit des outils pour étudier ces questions dans des cas peu explorés : sur tout anneau de coefficients et pour des structures algébriques à plusieurs sorties, les algèbres encodées par des properades.

Dans une variété de drapeaux, obtenue comme quotient d’un groupe algébrique semi-simple défini sur les nombres rationnels par un sous-groupe parabolique maximal, nous développons plusieurs techniques nouvelles pour compter les approximations rationnelles d’un point réel choisi aléatoirement selon la mesure uniforme. En particulier, nos résultats s’appliquent aux variétés de Grassmann et aux hypersurfaces quadratiques projectives. Les contributions de cette thèse se répartissent selon les trois thèmes suivants : 1. Intégrabilité des transformées de Siegel 2. Comptage à l’exposant diophantien 3.Comptage en dessous de l’exposant diophantien Plus précisément, nous généralisons la transformée de Siegel aux représentations rationnelles irréductibles de plus haut poids des groupes semi-simples et, dans la perspective de la formule de moyenne de Siegel et de la formule des moments supérieurs de Rogers pour la transformée classique de Siegel, nous étudions l’intégrabilité au sens de L-p de la transformée de Siegel des fonctions mesurables, bornées et à support compact pour p = 1, 2, infini. Pour compter les approximations rationnelles sur les variétés de drapeaux de rang un à l’exposant diophantien, nous utilisons une approche ergodique et une formule de moyenne pour les transformées de Siegel, également développée dans cette thèse. Nous affinons ensuite ce résultat en passant d’une formule asymptotique à une estimation avec un terme d’erreur explicite. Pour cela, nous démontrons un résultat d’équidistribution effective de certaines orbites translatées d’un sous-groupe compact maximal, ainsi qu’une propriété d’intégrabilité des transformées de Siegel. Le comptage par rapport aux exposants en dessous de l’exposant diophantien requiert une approche différente. Nous utilisons le mélange exponentiel dans l’espace des réseaux, des outils issus de la géométrie des nombres ainsi qu’une méthode de comptage célèbre due à Eskin-McMullen et Duke-Rudnick-Sarnak. Cette méthode permet d’obtenir des estimations effectives. Enfin, nous en déduisons l’équidistribution effective des points rationnels de hauteur bornée sur les variétés de drapeaux de rang un.

On reformule les idées de méthodes de trace pour comprendre la K-théorie algébrique à travers les outils de la théorie de l’homotopie moderne. En particulier, on étend la caractérisation de THH en tant que stabilisation de la K-théorie à toutes les catégories stables et les bimodules sur celles-ci. Plus généralement, on calcule toute la tour de Taylor-Goodwillie de la K-théorie lacée, notre extension de la K-théorie des endomorphismes paramétrisés. Pour ce faire, on fournit des propriétés universelles pour la K-théorie lacée et THH. Dans un second temps, on étudie la convergence de la tour de Taylor-Goodwillie de la K-théorie lacée et de THH lacée. Cela amène à un résultat comparant la K-théorie lacée à l’homologie cyclique topologique lacée, expliquant la structure locale de la K-théorie algébrique. Pour cela, on introduit les structures coeurs sur les catégories stables, généralisant les structures de poids de Bondarko, et on produit des théorèmes de résolutions pour la K-théorie et THH. Le point d’orgue est une généralization du cas extension de carré nulle scindée du théorème de Dundas-Goodwillie-McCarthy pour les extensions nilpotentes qui s’applique désormais à des catégories stables qui ne sont pas nécessairement l’envellope stable d’une catégorie additive.

Cette thèse a pour objectif l’étude d’algorithmes de résolution d’équations aux dérivées partielles par des algorithmes parallèles en temps et espace-temps. Le manuscrit est divisé en deux parties indépendantes. La première concerne la résolution des équations de la mécanique des fluides (Oseen et Navier-Stokes) avec les algorithmes Pararéel et Optimized Schwarz Waveform Relaxation (OSWR). La seconde partie propose une nouvelle analyse de l’algorithme OSWR pour l’équation de la chaleur, reposant sur une analyse discrète en temps. Dans la première partie, nous commençons par réécrire le problème d’Oseen faible de manière équivalente au problème monodomaine, sur une partition du domaine d’étude, puis nous introduisons l’algorithme OSWR pour la résolution de ce problème couplé. Nous montrons alors la convergence des vitesses obtenues par l’algorithme vers la famille de vitesses solution du problème couplé multi-domaines. Bien que l’algorithme permette de déterminer une pression dans tous les sous-domaines à chaque itération, celles-ci ne convergent pas vers les pressions solutions du problème monodomaine. Nous proposons alors une méthodologie de reconstruction de pression pour remédier à cela. Nous reprenons alors le même cheminement pour introduire un algorithme issu du couplage des algorithmes Pararéel et OSWR, ce qui définit une méthodologie de résolution du problème d’Oseen parallèle en temps et en espace. Pour pouvoir étendre l’algorithme OSWR au problème de Navier-Stokes, nous devons résoudre ce problème sur des sous-domaines avec des conditions limites de Robin. Nous commençons donc par établir l’existence et l’unicité de la solution à ce problème. Nous pouvons alors introduire l’algorithme et vérifier qu’il est bien posé, puis montrer sa convergence pour la vitesse et la pression, après correction. Des simulations numériques pour des problèmes académiques ainsi qu’un problème plus réaliste sont présentées pour illustrer l’efficacité de ces techniques. La seconde partie apporte une analyse nouvelle de l’algorithme OSWR pour la résolution de l’équation de la chaleur unidimensionnelle. Après avoir établi une analyse reposant sur l’introduction d’un schéma numérique en temps, nous apportons une nouvelle analyse de la convergence, et deux résultats nouveaux : la convergence ne dépend que du paramètre de Robin et du nombre de pas de temps, et la convergence peut être atteinte en un nombre fini d’itérations si le paramètre de Robin est choisi astucieusement. Surtout, nous mettons en évidence que le choix d’un paramètre optimal doit être dépendant du nombre d’itérations de décomposition de domaine réalisées, et proposons un tel paramètre, dont nous montrons numériquement l’efficacité. Nous apportons aussi une analyse permettant de choisir un paramètre de Robin optimisé dans le cas où la donnée de Robin est initialisée à partir de la condition initiale, ce qui est un cas usuel en pratique afin d’accélérer la convergence. Enfin, l’analyse est étendue à l’équation de la chaleur en deux dimensions d’espace.

Cette thèse explore l’application de l’apprentissage automatique à la relaxation lagrangienne, où certaines contraintes sont dualisées et intégrées dans la fonction objectif sous forme de pénalités. Chaque vecteur de multiplicateurs de Lagrange fournit une borne différente ; la meilleure est obtenue en résolvant le dual lagrangien, souvent via la méthode des faisceaux. Nous proposons d’abord un modèle prédictif pour les multiplicateurs de Lagrange, combinant un encodeur probabiliste et un décodeur déterministe. L’encodeur projette l’instance, représentée comme un graphe biparti, dans un espace latent capturant la structure des contraintes dualisées. Le décodeur prédit ensuite un multiplicateur par contrainte. Ce modèle, entraîné sans supervision, maximise directement la borne lagrangienne et permet d’initialiser ou remplacer la méthode des faisceaux. Ensuite, nous introduisons un modèle qui ajuste dynamiquement, à chaque itération, les paramètres de la méthode des faisceaux, définissant le pas et le poids de la régularisation. Il est entraîné par rétropropagation via une approximation du gradient obtenue par unrolling, exploitant la structure de la solution du problème quadratique résolu à chaque itération. Enfin, nous remplaçons entièrement l’étape de résolution quadratique par un modèle d’apprentissage. Un réseau récurrent avec attention agrège les sous-gradients passés pour prédire directement la nouvelle direction. Ce modèle, différentiable de bout en bout, imite le comportement de la méthode des faisceaux tout en permettant un apprentissage global. Il constitue un optimiseur appris, ouvrant des perspectives en méta-apprentissage et optimisation avancée.

Les données de grande dimension sont courantes dans des domaines tels que la génomique, le traitement d’images et l’analyse des réseaux sociaux. Elles posent des défis importants en matière d’analyse computationnelle et statistique. L’augmentation de la taille des ensembles de données dans ces différents domaines accroît le besoin d’outils efficaces d’approximation des données. Même si la dimension des données peut être grande, leur dimension intrinsèque, c’est-à-dire la dimension minimale de l’information qu’elles contiennent, peut être réduite. Cela est représenté à travers des concepts tels que la dimension VC, que nous discutons dans ce travail. Nous concentrons notre étude sur la recherche d’algorithmes efficaces pour de grands ensembles de données de dimension intrinsèque fixe. Dans cette thèse, nous présentons des algorithmes pour calculer des structures fondamentales de la réduction combinatoire des données : $epsilon$-approximations, $delta$-recouvrements,  colorations à faible discrépance et partitions à faibles croisements. En particulier, nous étudions les trois problèmes suivants. Dans la première partie, nous présentons un nouveau jeu à deux joueurs et  montrons l’existence d’une stratégie quasi-optimale en utilisant le célèbre algorithme de discrépance de Lovett-Meka. Dans la deuxième partie, nous présentons un nouvel algorithme de partition à faibles croisements pour les systèmes d’ensembles généraux. Enfin, nous présentons de nouveaux algorithmes pour calculer des $delta$-recouvrements  quasi minimaux de systèmes d’ensembles de dimension VC finie.